概述

显然，全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域；这三个数域我们分别用字母 `Q`、`R`、`C` 来代表；全体整数组成的集合就不是数域；因为不是任意两个整数和商都是整数；

如果数的集合 `P` 中任意两个数作某一运算的结果都仍在 `P` 中，我们就说数集 `P` 对这个运算是 封装的；因此，数域的定义也可以说成，如果一个包含 `0`，`1` 在内的数集 `P` 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为 `0` ）是封装的那么 `P` 就称为一个数域；

例1 所有具有形式

`a+bsqrt2`

的数（其中 `a,b` 是任何有理数）构成一个数域；通常用 `Q(sqrt2)` 来表示这个数域；显然，数集 `Q(sqrt2)` 包含 `0` 与 `1` 并且它对于加减法是封装的；

又因为`(a+bsqrt2)(c+dsqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)sqrt2`

`a,b,c,d`都是有理数，所以 `ac+2bd`，`ad+bc` 也是有理数；说明乘积 `(a+bsqrt2)(c+dsqrt2)` 还在 `Q(sqrt2)` 内，所以 `Q(sqrt2)` 对于乘法是封装的；

设 `a+bsqrt2!=0`，于是 `a-bsqrt2` 也不为零，而

`(c+d\sqrt2)/(a+b\sqrt2)=((c+d\sqrt2)(a-b\sqrt2))/((a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2))`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(ac-2bd)/(a^2-2b^2)+(ad-bc)/(a^2-2b^2)\sqrt2`

因为 `a,b,c,d` 是有理数，所以 `(ac-2bd)/(a^2-2b^2)`，`(ad-bc)/(a^2-2b^2)` 也是有理数；于是 `Qsqrt2` 对于除法是封装的；

例2 所有可以表成形式

`(a_0+a_1pi+cdots+a_npi^n)/(b_0+b_1pi+cdots+b_mpi^m)`

的数组成一数域，其中 `n,m` 为任意非负整数，`a_i`,`b_i`（`i=0,cdots,n`；`j=0,cdots,m`）是整数；

例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封装的，但对于加、减法不是封装的；`sqrt2` 的整倍数的全体成一数集，它对于加、减法是封装的，但对于乘除法不是封装的；这两个数集都不是数域

所有的数域都包含有理数域作为它的一部分

事实上，设 `P` 是一个数域，由定义，`P` 含有 `1`；根据 `P` 对于加法的封装性，`1+1=2`，`2+1=3`，`cdots`，`n+1=n+1`，`cdots` 全在 `P` 中，换句话说，`P` 包含全体自然数，又因 `0` 在 `P` 中，再由 `P` 对减法的封装性，`0-n=-n`也在 `P` 中，因而 `P` 包含全体整数；任何一个有理数都可以表成两个整数的商，由 `P` 对除法的封装性即得上述结论；