导言

微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率（导数或微商）；换言之，计算导数的方法就叫微分学；微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率；

费马常被称作「微分学的鼻祖」；

概要

微分学研究的是一个函数的导数的定义，性质和应用；求导的过程被称为微分；给定一个函数和定义域内的一个点，在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现；通过找出一个函数定义域内每一点的导数，可以生成一个新的函数，叫做原函数的导函数，或者导数；在数学术语中，导数是输入一个函数，输出另一个函数的线性算子；这比初等代数里的过程更抽象一些，初等代数里的函数常常是输入一个数，并输出另一个数；

如果在倍增函数中输入 `3` ，则输出 `6`，如果在平方函数中输入 `3`，则输出 `9`；但是，微分能把平方函数作为输入，这意味着微分利用平方函数的所有信息去产生另一个函数（生成的函数是倍增函数）；

导数的最常见的符号是一个类似撇号的符号，叫作“撇”；从而函数 `f` 的导数是 `f^'` ，读作“`f`撇”；

例如，如果 `f(x)=x^2` 是平方函数，那么它的导数 `f^'(x)=2x` 是倍增函数；

如果函数的输入量代表时间，那么导数就代表关于时间的变化；

例如，如果 `f` 是输入时间，输出那个时间的球的位置的函数，则 `f` 的导数就是位置随着时间怎样变化，这就是球的速度；

如果一个函数是线性的（也就是说，如果函数的图像是一条直线），那么这个函数可以写成 `y=mx+b`，`x` 是自变量，`y` 是因变量，`b` 是 `y` 的纵截距，且

`m=(Deltay)/(Deltax)`

这个公式给了一条直线的斜率的一个准确值；如果这个函数的图像不是一条直线，那么在 `y` 上的变化量除以在 `x` 上的变化量随 `x` 改变；导数给出了输出量关于输入量的变化率这一概念一个确切的含义；

具体来说，设 `f` 是一个函数，并在它的定义域内取一个点 `a` ，`(a,f(a))` 是这个函数图像中的一个点；假设 `h` 是一个接近于 `0` 的数，这时 `a+h` 是一个接近于 `a` 的数；所以 `(a+h,f(a+h))` 是节点于 `(a,f(a))` 的；这两点间的斜率是

`m=(f(a+h)-f(a))/((a+h)-a)=(f(a+h)-f(a))/h`

这个表达式称为差商；

通过曲线上的两个点的一条线称为割线，所以 `m` 是 `(a,f(a))` 和 `(a+h,f(a+h))` 间割线的斜率；割线仅仅是函数在 `a` 点行为的一个近似，因为它不能解释函数在 `a` 到 `a+h` 之间的情况；通过设定 `h` 为 `0` 来发现函数在 `a` 处的行为是不可能的，因为这需要除以 `0`，而除以 `0` 也是不可能的；

导数定义为 `h` 趋向于 `0` 时差商的极限，就是说用 `h` 可取的所有可能小的值来研究 `f` 的行为，并取一个合适的值作为当 `h` 等于 `0` 时差商的值；

`lim_{h->0} (f(a+h)-f(a))/h`

几何上，导数是函数 `f` 在 `a` 点处切线的斜率；切线是割线的极限，正如导数是差商的极限；因此，导数有时也被称为 `f` 的斜率；这里有一个具体的例子，就是求一个平方函数在 `x` 等于 `3` 处的导数；令这个平方函数为 `f(x)=x^2`

`f'(3)=lim_(h->0)((3+h)^2-3^2)/(h)`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =lim_(h->0)(9+6h+h^2-9)/(h)`
`=lim_(h->0)(6h+h^2)/(h) \ \ `
`\ \ \ \ =lim_(h->0)(6+h)=6`

平方函数在点 `(3,9)` 处的切线斜率是 `6`，也就是说，它是朝上走的速度是朝右走的速度的 `6` 倍；若平方函数的定义域中的任一点都存在刚才所描述的极限，那么我们就把它定义为平方函数的导函数，也简称为平方函数的导数；

以上的一个相似计算表明平方函数的导数是倍增函数；