概述

积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数，又分为定积分与不定积分；一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和，约等于函数曲线下包含的实际面积；

因此，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等；

从技术上来讲，积分学是研究线性算子之间的关系；

论述

不定积分是导数的逆运算，即反导数；当 `f` 是 `F` 的导数时，`F` 是 `f` 的不定积分；

这种在公式中使用大小写字母以区分微分积分在数学中很常见；

定积分输入公式，得出数字，即给出图像与横坐标之间面积的代数解；对定积分的技术定义是矩形总面积的极限，又称黎曼积分；

Example

在给定时间内行径的路程（`s=nut`）

如果速度是一定的，那么上述参数简单相乘既可得出结果；但如果速度为变量，那么就不得不使用更强大的公式；

其中的一个方式是将行径路程根据时间近似地划分成许多小部分，将每个间距中的时间乘以当时的速度，最后将每个间距所行径的近似路程累计为黎曼和；最基本的概念是，如果时长间隔很短，那么速度会近似不变；然而，黎曼和只给出行径路程的近似值；我们必须求得黎曼积分的极限，来得出精确的值；

积分的符号是 `int` ,好像一个拉长的 `S`（ `S` 意味"求和"）；定积分被记为如下：

`int_a^b f(x)\ dx`

求 `f(x)` 由 `a` 到 `b` 的定积分；莱布尼茨的符号 `dx` 意在表述将曲线下的面积分割为无穷多的矩形，以至于他们的宽 `Deltax` 变成无穷小的 `dx`；建立在极限上的微积分，符号

`int_a^b \cdots\ dx`

应被理解为输入方程公式，输出数字面积；终端微分 `dx` 不是数字，也不是与方程 `f(x)` 相乘，而是作为 `Deltax` 余留的极限定义，可被视为积分运算的符号；从形式上来讲，微分代表了被积分方程的变量，并作为积分运算的尾括号；

不定积分，或反导数，被记作：

`int\ f(x) \ dx`

常数不同，导数相同的方程，可是说明一个方程的反导数实际上是一组常数不同的方程组； `C` 是常数的方程 `y=x^2+C` 求导，得方程 `y^'=2x`；后者的反导数可被写为：

`int\ 2x\ dx=x^2+C`

反导数中的未知常数 `C` 被称为积分常数；

微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律；此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展；并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展；