在自由矢量的意义下，两矢量合成的平行四边形法则可归结为三角形法则，如图 1 -3 ，只要平移矢量 `vec (OB)` 到 `vec (AC)` 的位置就行了；

根据定义 `1.2.1`，由 `图1 - 4` 我们有

`vec (OA)` + `vec (AB)` = `vec (OB)`

这种求两个矢量和的方法叫做三角形法则；由此再根据图 `1-3` 与 定义 `1.1.2` 可得定理 `1.2.1`；

证 先证交换律；对于两矢量`bb a`，`bb b`不共线的情形，由图`1-5`可知

`bb (a+b)=vec (OA)+vec (AC)=vec (OC)`

`bb (b+a)=vec (OB)+vec (BC)=vec (OC)`

所以`bb (a+b=b+a)`

对于两矢量`bb a`、`bb b`共线的情形，留给读者自行证明；

再证结合律；自空间任意点`O`开始依次引`vec (OA)=bb a`，`vec (AB)=bb b`，`vec (BC)=bb c`（图1-6），根据矢量加法定义有

`bb ((a+b)+c)=(vec (OA)+vec (AB))+vec (BC)=vec (OB)+vec (BC)=vec (OC)`

`bb (a+(b+c))=vec (OA)+(vec (AB)+vec (BC))=vec (OA)+vec (AC)=vec (OC)`

所以  `bb ((a+b)+c=a+(b+c))`

由于矢量的加法满足交换律与结合律，所以三矢量`bb (a,b,c)`相加，不论它们的先后次序与结合次序如何，它们的和总是相同的，因此可简单地写成

`bb (a+b+c)`

推广到任意有限矢量`bb (a_1,a_2,cdots,a_n)`的和，就可以记做`bb (a_1+a_2+cdots+a_n)`；有限个矢量`bb (a_1,a_2,cdots,a_n)`相加的作图法，可以由矢量的三角形求和法则推广如下：

自任意点`O`开始，依次引`vec (OA_1)=bb (a_1)`，`vec (A_1A_2)=bb (a_2)`，`cdots`，`vec (A_(n-1)A_n)=bb (a_n)`，由此得一折线`OA_1A_2cdotsA_n`(图 1-7)，于是矢量`vec (OA_n)=bb a`就是`n`个矢量`bb (a_1,a_2,cdots,a_n)`的和：

`bb (a=a_1+a_2+cdots+a_n)`

即

`vec (OA_n)=vec (OA_1)+vec (A_1A_2)+cdots+vec (A_(n-1)A_n)`

特别地当`A_n`与`O`重合时，它们的和零矢量`bb 0`；

这种求和的方法叫做多边形法则；

根据矢量加法的三角形法则，总有

`vec (OB)+vec (BA)=vec (OA)`

所以由定义1.2.2得

`vec (BA)=vec (OA)-vec (OB)`

由此得到矢量减法的几何作图：

自空间任意点`O`引矢量`vec (OA)=bb a`，`vec (OB)=bb b`，那么矢量`vec (BA)=bb (a-b)`（图 1-8）；如果以`vec (OA)`，`vec (OB)`为一对邻边构成平行四形`OACB`，那么显然它的一条对角线矢量`vec (OC)=bb (a+b)`，而另一条对角线矢量`vec (BA)=bb (a-b)`（图 1-9）；

利用反矢量，可以把矢量的减法运算变为加法运算；

因为如果`bb (c=a-b)`，即`bb (b+c=a)`，在等式两边各加`bb b`的反矢量`bb (-b)`，利用`bb (b+(-b)=0)`，便得`bb (c=a+(b))`，因此

`bb (a-b=a+(-b))`

这表明求`bb a`与`bb b`之差可以变为求`bb a`与`bb b`的反矢量`bb (-b)`之和；又因为`bb (-b)`的反矢量就是`bb b`，因此又可得

`bb (a-(-b)=a+b)`

从矢量减法的这个性质，可以得出矢量等式的移项法则：

在矢量等式中，将某一矢量从等号的一端移到另一端，只需改变它的符号；例如将等式`bb (a+b+c=d)`中的`bb c`移到另一端，那么有`bb (a+b=d-c)`；这是因为从等式`bb (a+b+c=d)`两边减去`bb c`，即加上`bb (-c)`，而`bb (c+(-c)=0)`的缘故；

对于任何的两矢量`bb a`与`bb b`，有下列不等式

`bb (|a+b| <=|a|+|b|)`

这个不等式还可以推广到任意有限多个矢量的情况：

`bb (|a_1+a_2+cdots+a_n| <=|a_1|+|a_2|+cdots+|a_n|)`